3.2 Formas geométricas tridimensionales

Las ecuaciones de los objetos con límites curvos se pueden expresar en forma paramétrica o en forma no paramétrica. El Apéndice A proporciona un resumen y una comparación de las representaciones paramétricas y no paramétricas. Entre los múltiples objetos son útiles a menudo en las aplicaciones gráficas se pueden incluir las superficies cuadráticas, las supercuádricas, las funciones polinómicas y exponenciales, y las superficies mediante splines. Estas descripciones de objetos de entrada se teselan habitualmente para producir aproximaciones de las superficies con mallas de polígonos.

La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos “from scratch” o representar objetos reales. En este último caso, normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.

La representación no paramétrica de una curva (por ejemplo, en dos dimensiones) puede ser implícita, y = f(x) O bien explícita, f(x, y) = 0

La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x (por ejemplo, un círculo), mientras que la forma explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas.

Representación paramétrica.

Una representación paramétrica (por ejemplo, de una curva bidimensional) tiene la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2

La derivada o vector tangente es

P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T

El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva (esto es visible al comparar sus derivadas).